Paul Erdős, sobre el 3n+1: «Las matemáticas quizás no estén todavía preparadas para este tipo de problemas». Ofreció 500 $ por su resolución. También dijo que «la geometría fractal es de lo poco en matemáticas moderno que deja frío a la teoría de números» — este problema es lo contrario: sencillo de enunciar, brutal de demostrar.
famosos:
Trayectoria
escalones del «número granizo» en escala logarítmica · dorado = inicio · punto azul = llegada a 1
Estadísticas
La conjetura afirma que esta trayectoria siempre termina en 1. Nadie ha podido demostrarlo — pero tampoco encontrar un contraejemplo.
presets:
La nube de tiempos de parada
pasos hasta 1 para cada n · color = excursión máxima · rueda = zoom · arrastrar = mover · doble clic = ajustar · clic en un punto → su trayectoria
Las bandas y valles de la nube reflejan los últimos pasos impares comunes: los números que comparten cola comparten tiempo de parada. 10⁶ números se calculan en ~150 ms con el pase por bloques memoizado.
El árbol invertido: quién cae en quién
BFS desde 1 hacia atrás: cada n tiene como hijos a 2n y, si n ≡ 4 (mod 6), a (n−1)/3 · la conjetura equivale a que este árbol contiene a todos los enteros positivos
Curiosidades del 3n+1
Los términos de las trayectorias de Collatz siguen la ley de Benford: el dígito líder es un 1 el 30,1% de las veces, un 2 el 17,6%… exactamente como log₁₀(1+1/d). Aquí está verificada contando todos los términos de todas las trayectorias del rango, con dígitos extraídos por potencias exactas de 10.
rango:
Récords de pasos
| n | pasos | excursión máx. | pico / n |
|---|
Récords de excursión
los números que se disparan más alto antes de caer
| n | pasos | excursión máx. | pico / n |
|---|
La conjetura está verificada por fuerza bruta hasta 2⁶⁸ ≈ 2,95·10²⁰ (Barina, 2020, con verificación en GPU y checkpointing). Si existe un contraejemplo, es mayor que 295 quintillones — o es un ciclo distinto de 4→2→1, o diverge al infinito.
Terence Tao demostró que casi todos los n (en sentido de densidad logarítmica) tienen su excursión máxima por debajo de cualquier función no acotada f(n). En sus palabras: es lo más cerca que se puede llegar con las técnicas actuales sin resolverla de verdad.
Las trayectorias se llaman números granizo (hailstone numbers) porque suben y bajan como granizo en una nube antes de caer a 1. El 27 es el granizo pequeño más espectacular: 111 pasos y un pico de 9.232 — 341 veces su valor de partida. El número granizo «completo» se ve en la vista Trayectoria.
El problema más simple que nadie sabe resolver
Lothar Collatz lo propuso en 1937: toma cualquier entero positivo; si es par, divídelo entre 2; si es impar, multiplícalo por 3 y súmale 1; repite. La conjetura dice que siempre terminas en el ciclo 4 → 2 → 1. Cualquiera puede comprobar millones de casos; nadie ha podido demostrar que no exista un número rebelde que crezca para siempre o caiga en otro ciclo.
Cómo funciona esta app
- Trayectoria: enteros de Python (hasta 10¹⁵ sin pérdida de precisión), animación en canvas con escala logarítmica.
- La nube: pasos y excursiones de todos los n del rango en un pase por bloques vectorizado con NumPy: cada trayectoria se sigue solo hasta caer bajo su bloque, donde el resultado ya está memoizado. 10⁶ números en ~150 ms.
- El árbol: BFS invertido desde 1; cada valor tiene padre único, así que es un árbol genuino; disposición radial con ancho angular proporcional a las hojas.
- Benford: dígitos líderes extraídos con potencias exactas de 10 (sin logaritmos flotantes).