La conjetura de los primos gemelos — que hay infinitos pares (p, p+2) — sigue sin demostrar. Lo mejor conocido: por Zhang (2013), Maynard y Tao, sabemos que hay infinitos pares de primos separados por menos de 246. Bajar de 246 a 2 es el problema.
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Espiral de Ulam con los gemelos
los enteros se enrollan en espiral y los primos forman diagonales misteriosas · dorado = gemelos · rueda = zoom · arrastrar = mover · doble clic = ajustar
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π₂(x): cuántos gemelos hay hasta x
el conteo real frente a la predicción asintótica de Hardy–Littlewood 2·C₂·∫dx/ln²x — si la conjetura es cierta, la razón tiende a 1
La constante de Brun
Viggo Brun demostró en 1919 que la serie Σ(1/p + 1/(p+2)) converge (B₂ ≈ 1,902160583104), aunque haya infinitos gemelos: los gemelos son escasos. Si divergiera, la conjetura quedaría demostrada por contradicción. Aquí está la suma parcial creciendo a paso de tortuga hacia su límite.
rango:
El mayor gemelo conocido (2016): 2996863034895·2¹²⁹⁰⁰⁰⁰ ± 1, con 388.342 dígitos cada uno. Encontrarlo requirió años de computación distribuida (PrimeGrid). El récord de cotas, en cambio, avanza por teoría, no por fuerza bruta.
Todo gemelo mayor que (3, 5) vive en la forma (6k−1, 6k+1): de los tres números 6k−2, 6k−1, 6k, dos son pares y uno divisible por 3, así que solo la pareja ±1 escapa. La espiral lo enseña: los gemelos caen en diagonales concretas.
La conjetura cuantitativa: π₂(x) ~ 2·C₂·∫₂ˣ dt/ln²t con C₂ = 0,66016… (la constante de los primos gemelos, prima hermana de la del cometa de Goldbach). En la vista Conteo puedes ver la razón π₂/HL acercándose a 1 — pero una razón que tiende a 1 no demuestra que π₂ crezca sin techo.
Gemelos: la conjetura más simple que queda por cerrar
Los primos gemelos —(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31)…— son pares de primos separados por 2. Euclides demostró que hay infinitos primos; para los gemelos la misma pregunta sigue abierta desde que Gauss y Dirichlet sentaron las bases de su distribución. La evidencia numérica es abrumadora (hasta cotas astronómicas) y la predicción de Hardy–Littlewood clava el conteo, pero nadie tiene la demostración.
Cómo funciona esta app
- Criba solo-impares vectorizada: los pares (p, p+2) salen de una pasada sobre la máscara de primos.
- Modo dual: con servidor usa la API FastAPI (NumPy); servida estática en GitHub Pages calcula lo mismo en el navegador con typed arrays — mismo algoritmo, cero backend.
- Ulam: posiciones de la espiral calculadas al vuelo; gemelos en dorado sobre los primos en azul.