Ternas pitagóricas — el caso n = 2
cada punto es (a, b) con a² + b² = c² · color = hipotenusa · rueda = zoom · arrastrar = mover · doble clic = ajustar
Los múltiplos de cada terna primitiva se alinean en rayos desde el origen: esa estructura de abanico solo existe para n = 2. Generadas con la parametrización de Euclides (a = m²−n², b = 2mn, c = m²+n²), sin búsquedas brutales.
La curva de Lamé aⁿ + bⁿ = cⁿ y la rejilla de enteros
la curva morfea de círculo (n = 2) a cuadrado (n → ∞); una solución sería un punto de la rejilla exactamente sobre la curva
Mapa del error |aⁿ+bⁿ−cⁿ|/cⁿ
amarillo = casi-solución · el mapa completo se calcula de una vez con NumPy
Mejores casi-soluciones
| a | b | c | error rel. | lado | aⁿ+bⁿ | cⁿ |
|---|
El signo indica si aⁿ+bⁿ queda por encima (+) o por debajo (−) de cⁿ. Para n > 2 ninguna fila es exacta: es el teorema. El ranking finalista se re-verifica con enteros de precisión arbitraria.
⚠️ con n grande, el mapa de calor satura por debajo de ~10⁻¹³ (límite de la precisión flotante); el ranking de la tabla, en cambio, es exacto.
Curiosidades: casi-soluciones famosas
El teorema prohíbe igualdades exactas para n > 2, pero las hay casi. Los Simpson escondió varias en sus episodios: varios de sus guionistas (David X. Cohen, Ken Keeler, Jeff Westbrook) tienen doctorados en matemáticas o física. Y la más famosa de todas involucra el número del taxista de Ramanujan. Aquí están verificadas dígito a dígito con aritmética entera exacta — fíjate en el dígito divergente resaltado.
La anécdota del taxista
G. H. Hardy visitó a Ramanujan enfermo y comentó que había llegado en el taxi número 1729, «un número bastante aburrido». Ramanujan respondió al instante: «No, Hardy, es un número muy interesante: es el menor expresable como suma de dos cubos de dos maneras distintas» — 1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³. Por eso 1729 es el «número del taxista» (taxicab number). Fíjate en la tarjeta de arriba: esa segunda descomposición da además la casi-solución de Fermat 9³ + 10³ = 12³ + 1.
La superficie c = (aⁿ + bⁿ)^(1/n) y los enteros cercanos
los puntos flotan pegados a la superficie sin tocarla jamás (para n = 2, los dorados la tocan: son ternas)
El margen más famoso de la historia
En 1637, Pierre de Fermat escribió en el margen de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto que era imposible separar un cubo en dos cubos, ni una cuarta potencia en dos cuartas potencias, ni en general ninguna potencia superior en dos potencias del mismo grado, y añadió: «He descubierto una demostración verdaderamente maravillosa, pero este margen es demasiado estrecho para contenerla». La afirmación — la ecuación aⁿ + bⁿ = cⁿ no tiene soluciones en enteros positivos para n > 2 — resistió 358 años.
Cómo se resolvió
- Euler demostró el caso n = 3 (1770); el propio Fermat, el n = 4.
- Sophie Germain avanzó en los primeros casos generales a principios del s. XIX.
- Kummer desarrolló sus «números ideales» (teoría de ideales) y probó el teorema para muchísimos exponentes regulares (1847).
- En 1995, Andrew Wiles (con Richard Taylor) cerró la demostración vía la conjetura de Shimura–Taniyama–Weil para curvas elípticas semiestables: ~130 páginas de curvas elípticas y formas modulares. Wiles recibió el Premio Abel en 2016. Casi seguro, el margen de Fermat nunca contuvo demostración válida alguna.
Por qué «casi» no cuenta
La vista La curva lo enseña: para n = 2 la circunferencia a² + b² = c² pasa exactamente por puntos de la rejilla entera (las ternas pitagóricas, infinitas, generadas por Euclides). Para n > 2 la curva de Lamé se cuela entre los puntos enteros: puedes acercarte muchísimo — el mapa de Casi-soluciones encuentra parejas con error relativo de una parte en un billón — pero jamás exactamente. En enteros, casi-solucionar es no resolver nada: es lo que dice el teorema.